COINV模态參數識别新算法——提純算法

2017-04-26 10:39:30 閱讀次數:5037

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摘要:本文提出的提純算法,将傳統的密集模态解耦轉化到了簡單的頻響函數提純,參數識别過程也不需要穩定圖,計算速度有極大的提高。提純算法是目前所有模态識别算法中,唯一對密集模态參數識别能達到實時級的算法。MIMO試驗隻要參考點數量合适,即使能量占比很小的模态,通過提純算法也可得到非常協調的模态振型,精确的模态頻率和阻尼。提純算法尤其适用于耦合嚴重的超大阻尼模态試驗,提純後的FRF已完成了模态解耦,能直觀顯示模态的頻率和阻尼。

關鍵詞:參數識别,頻響函數,純模态試驗,解耦,模态指示函數


一 簡介

飛機地面振動試驗(GVT)之一為純模态試驗 [1] 。在試驗過程中,若幹個激振器固定在某階模态的頻率同時激勵。 通過調節每個激振器的大小和方向,可激勵出純模态,直接得到模态振型。這套機理可借鑒到試驗模态分析(EMA) 和運行狀态模态分析(OMA)的參數識别,對具有共同分母的頻響函數FRF或半譜HSP進行提純[2~4],得到參數識别的提純算法。

對單輸入多輸出SIMO或多輸入單輸出MISO模态試驗,FRF函數矩陣的一行或一列已知,這些FRF具有相同的分母,決定了模态的頻率和阻尼。FRF由多階模态疊加而成。隻要為每個FRF找到合适的權系數,計權相加後可得到隻含一階模态的新FRF,此即所謂的提純過程。由此再識别得到模态的頻率和阻尼。改變權系數,可得到其它階的模态頻率和阻尼。

對于多輸入多輸出MIMO模态試驗,多行或多列FRF已知,把一行或一列FRF看成一組,為每組FRF找到一個合适的權系數,同測點不同組頻響函數計權相加後可得到一組隻含一階模态的FRF,此即所謂的MIMO提純過程。由這組提純後的FRF,再識别得到模态的頻率,阻尼和振型。改變權系數,可得到其它階的提純FRF,識别模态頻率,阻尼和振型。

對于EMA的MIMO試驗,通過多變量指示函數(MvMIF) [5,6],可計算得到權系數,進行提純。當MvMIF的數值小于0.1,可通過FRF虛部直接得到模态振型。

對于EMA和OMA的MIMO試驗,通過複模态指示函數(CMIF) [2,3],可計算得到權系數,進行提純。

當模态密集時,需要适當增加MIMO試驗的參考點數目。

 

理論推導

2.1 SIMO或MISO EMA模态試驗

對于SIMO或MISO的EMA試驗,FRF的一行或一列已知。

激勵點和響應點之間的FRF可寫成:

Catch1.jpg

其中,i為激勵點,j為響應點,r為模态階數,n為頻率分析區間内總的模态階數,mr為廣義模态質量。

(1)式常寫成

Catch2.jpg

此處●*為複共扼, Ar為複留數,且

Catch3.jpg                                         

當Ar為純虛數,Ar的實部為0,Ar*= -Ar 。由式(1)

Catch4.jpg

ΨirΨjr為實數。此處開始,本小節模态振型假定為實數。

假定采用質量歸一提取振型,式(1)可重寫為:


Catch5.jpg

所有FRF有共同的分母。在對某階模态進行參數識别時,需要考慮其它階模态的影響。

假定選中mFRF通過權系數進行疊加,滿足mn,合成得到新的FRF

Catch6.jpg



Catch7.jpg

假定采用質量歸一提取振型,式(1)可重寫為:

Catch8.jpg

此處r是模态階數,r ≠ k。隻在一階模态r=k,

Catch9.jpg為非零。歸一化處理,令Catch10.jpg

這樣,由式 (7),可得到隻含一階模态的頻響函數。不用考慮其它階模态的影響,通過新的FRF可識别得到精确的模态頻率和阻尼。

當所有模态的頻率和阻尼已知後,由原始的FRF可逐點提取模态振型。

為了得到隻含單階模态的FRF,需要先計算得到實系數αj(j=1,2,…m)

單階模态加速度或位移的頻響函數如圖1所示:

本小節此後的頻響函數類型都看作加速度或位移。對于速度類型的頻響函數,實部和虛部需要交換。對于OMA的半譜,可看成速度類型。

在圖1中,以模态頻率為中心,選擇一個頻率區間。在此頻率區間外,虛部和實部之比的絕對值為:

Catch11.jpg

确保μ<0.01,頻率範圍是

Catch12.jpg

Catch13.jpg


當ξr<0.005,外部頻率區間為ω<0.62ωrω>1.62ωr

ξr<0.001,外部頻率區間為ω<0.90ωrω>1.11ωr

在所有FRF中,選m個虛部絕對值較大的FRF或全體FRF

假設在頻率區間為FRF譜線條數為N,因此求實系數αk的方程為


image076.png

1 單自由度FRF實部和虛部


Catch14.jpg


簡寫為

Catch15.jpg

在式 (13)中,T表示轉置矩陣。HI為FRF虛部。元素HIij,當i不為0,為頻率區間外的譜線序号;i=0表示為頻率區間内譜峰的位置,允許有小的誤差,不會對識别參數的精度造成影響。j為FRF的點号。式(12)中,右邊矩陣的第一個元素為1,也可假設成其它的常數。

從式 (13),得到最小二乘解為

Catch16.jpg

Catch17.jpg

對于SIMO或MISO試驗,以上算法的明顯缺點是不适合密集模态或大阻尼模态。

如兩個靠近的模态頻率位置大于2條譜線,即頻率差大于2Δf,此處 Δf=SF/N,SF為采樣頻率,N為進行FRF分析的FFT點數。這兩階的模态參數可識别出來。

注意到圖1,模态頻率位置處頻響函數的實部為0因此在式(12)中增加一行,新的方程為

Catch18.jpg


兩階位置靠近的模态可以分開。新增的一行是HR,FRF實部,位于FRF主峰值的位置,和第一行元素所在位置相同。

對于包含隻含一階模态的FRFCatch19.jpg在由式(10)(11)決定的頻率區間内,需要識别三個參數ωrξrΦr。方程為

Catch20.jpg

此處HRkH的實部,HIkH的虛部,k為譜線序号,ωk為第k條譜線的ωN為頻率區間内譜線總數。

簡化成

Catch21.jpg

方程的最小二程解為

Catch22.jpg

此處X=[X1  X2  X3]T,因此

Catch23.jpg

得到了模态頻率,阻尼和參考點的振型。根據這些識别出的參數,可得到合成的理論FRF。合成的理論FRF和合成的純FRF的吻合程度,反映了識别出的模态參數的精度。當吻合程度不好時,其可能的原因有:在選定的頻帶區間,模态不夠純,即相鄰模态的影響沒有完全消除;或模态阻尼很大而選定的頻率區間寬度不夠。


2.2 SIMO或 MISO OMA模态試驗

在式 (16)中, 矢量αm×l為複數,式(16) 改寫為

Catch24.jpg


2.3 MIMO試驗通過MvMIF計算

對MIMO試驗,多變量指示函數MvMIF可直接用來計算系數,從而構造出一組純FRF。

已知的FRF矩陣為Hq×p,q為總的響應點,p為激勵點個數。

實系數可看成激勵力矢量Hq×p,‖F‖=1,一組新的FRF為(HF)q×l。因此,問題和飛機GVT純模态試驗相同,可定義為尋找激勵力矢量,使得 

Catch25.jpg

在每條譜線上,定義矩陣

Catch26.jpg

Catch27.jpg

從式(22), 得到

Catch28.jpg

因此

Catch29.jpg

在每條譜線,對下面的實對稱矩陣進行奇異值分解

Catch30.jpg

此處S為從大到小排列的實對角陣,U為歸一化的實矩陣,有UUT=II為單位陣。

多變量指示函數MvMIF曲線可以畫出,如圖2所示。

p個激勵點,就有p條MvMIF曲線,每條曲線由對角陣S相同序号的元素構成。

由MvMIF曲線的最小值點,可找到模态的位置。實系數為對應此最小奇異值的矩陣U的相應的一列。

當系數知道後,可得到一組提純後的新頻響函數FRF (HF)q×l 。當MvMIF的值小于0.1,模态振型可通過相應譜線位置FRF的虛部直接得到。

image181.png

2  MvMIF曲線


MvMIF最小值依賴于激勵的位置和數量,當有4階模态密集相鄰時,至少需要3個激勵點。隻要激勵點數量足夠,而且位置分布适當,即使重根也能輕易解耦。

當一組提純後的FRF得到後,式(17) 擴展為

Catch31.jpg

此處在元素iHR和iHI中, i表示一組FRF中的第i個FRF,一組共有q個。

直接求解方程(28)很費時,從等式 (28),可得到等式 (29) 

Catch32.jpg

可先求出模态頻率和阻尼。

然後,再由式 (27),求出模态振型

Catch33.jpg

對于質量歸一,存在等式

Catch34.jpg

此處Ψv可看成單輸入多輸出SIMO系統的虛拟激勵點,滿足

Catch35.jpg

Ψ1,Ψ2,…,Ψp 為激勵點對應的振型。

由式(31),推導出 

Catch36.jpg

由式(33),可計算得到Ψv。第r階模态的實際振型為

Catch37.jpg


2.4 MIMO試驗通過CMIF計算

對于OMA試驗以及FRF相幹較差的EMA試驗,MvMIF曲線無法清楚指定模态所在的位置,而複模态指示函數CMIF卻可以。對某一頻率處的FRF矩陣進行Hq×p進行複奇異值分解

Catch38.jpg

此處Σ 為正的實對角陣,元素按從大到小的順序排列。U為複矩陣, UUH=Iq×qI為單位陣。V為複矩陣,VVH=Ip×p, I為單位陣。

各組的加權系數由下面複數方程得到

Catch39.jpg

寫成實數的方式為

Catch40.jpg

将不同頻率處Σ相同秩的元素連成曲線,得到了複模态指示函數,如圖3所示。在曲線的最大值點,對應一階模态。絕大部分模态在第一條曲線上,U矩陣和V矩陣的第一列和第一條曲線對應。U矩陣的一列和模态振型成比例,V矩陣的一列和模态參與因子成比例。當模态比較密集或有重根時,模态也有可能在CMIF的第二條或第三條曲線上。

image241.png

3   CMIF曲線

         首先從CMIF曲線确定模态頻率所在的位置和在第幾條CMIF曲線上,并得到U矩陣中和譜線的秩相應的一列矢量uq×l 

Catch41.jpg

β為待定的複系數。此處,振型Ψq×l為複數  

         假定從式(35) CMIF算法得到的模态振型是可靠的。一組複系數νi(i=1,2,…p)為矩陣V的一列νp×l 。有

Catch42.jpg

此處σ為對角陣Σ的一個和CMIF曲線對應的元素,即 CMIF曲線的值。

         對于提純後的FRF,有

Catch43.jpg

Catch44.jpg

此處ω0為CMIF最大值點對應的頻率。

         對于提純後的FRF,隻有一階模态,由公式 (6),可得

Catch45.jpg

此處最前的p點振型和參考點位置相同。

         由式(40),可得到下面等式

Catch46.jpg

或改寫為

Catch47.jpg

Catch48.jpg

此處

Catch49.jpg

Catch50.jpg

式(44) 和(45)可寫成矩陣的形式

Catch51.jpg

此處元素iHRiHI, i 表示一組提純後FRF的第i個FRF。

對于q個提純後的FRF, N為半功率帶寬内譜線的條數,用于構建等式(48)。通過最小二乘法求解式(48)。 再由(46)和(47),得到模态頻率和阻尼。

當由式 (48),求出γ。再由式 (42),求出β。由式(38),得到模态振型。


三 工程實例

實例1:這是在北航實驗室完成的一個帶方孔闆的模态試驗,隻測和闆垂直的方向,邊界條件為自由。将4個傳感器布在四個角,闆在面内方向用鋼絲繩懸挂,對垂直方向不造成約束,如圖4所示。用錘子敲擊所有的網格點,網格劃分如圖5所示。得到四組FRF,多變量指示函數MvMIF曲線如圖4所示。

image300.jpg

帶方孔闆的模态試驗


image301.png

模态試驗測點的網格劃分



将提純算法得到的模态分析結果和特征系統實現算法ERA得到的分析結果進行比較,如表1所示:得到的模态頻率和阻尼的結果非常一緻。圖6為對兩種算法振型進行比較的Cross MAC結果,所得振型也非常一緻。

1 兩種算法的分析結果比較範例

階數

提純算法

ERA

頻率   (Hz)

阻尼   (%)

頻率   (Hz)

阻尼   (%)

1

33.586

1.603

33.591

1.605

2

70.987

1.205

70.991

1.266

3

87.439

0.997

87.483

1.107

4

96.397

1.465

96.418

1.488

5

118.015

1.270

118.086

1.296

6

184.437

1.476

184.596

1.538

7

186.397

1.326

186.511

1.384

8

199.971

1.365

199.947

1.442

9

222.719

0.910

222.841

1.173

10

258.237

1.094

258.264

1.174

11

275.833

1.372

275.854

1.441

12

301.631

1.078

301.560

1.589

13

341.377

1.272

341.384

1.350

14

353.209

1.394

353.046

1.448

15

417.771

1.164

417.988

1.544

16

422.187

1.025

422.001

1.334

17

472.246

0.669

472.668

1.161

18

485.886

0.858

484.554

1.567


image303.png

提純算法對ERACross MAC

在以上的分析結果中,第6階和第7階模态非常接近。

以上算例表明,提純算法所得分析結果可靠,能識别密集模态。


實例2:這是一個超大阻尼隔振台的模态試驗,台子由工信部十院進行設計。台子長40米,寬7米,高0.7米,質量為1000公斤。前3階剛體模态阻尼很大,阻尼比在20%到40%。這三階大阻尼模态耦合在一起,造成模态參數用普通的參數識别算法很難識别,尤其是很難得到協調的模态振型。

考慮到結構的對稱性,MIMO試驗時選擇4個角的垂直方向進行激勵,得到了4組FRF。振動台面均勻分成了10*4的網格,共有55個測點。台面下和台面上的振動認為是相同的,隻測量垂直方向。傳感器采用國家地震局力學所設計生産的941B,測量速度。頻率分析區間為0到8Hz。

image.jpg

7 模态試驗測點的網格劃分


表2為分析結果。

分析結果

階數

頻率   (Hz)

阻尼比   (%)

振型說明

1

1.753

40.939

沉浮

2

1.950

37.670

點頭

3

2.402

28.116

側翻

4

6.228

2.799

一彎


圖8為4階模态的振型。

image305.png

8  4階模态振型


前3階模态嚴重耦合在一起,集總顯示的FRF如圖9所示。

image307.png

集總FRF顯示


圖10是ERA參數識别算法得到的穩定圖,圖中曲線為CMIF複模态指示函數曲線。

image309.png

10  ERA算法得到的穩定圖


圖11為PolyLSCF[3]算法得到的穩定圖。

image311.png

11  PolyLSCF算法得到的穩定圖


圖12為PolyIIR[4]算法得到的穩定圖

image313.png

12  PolyIIR算法得到的穩定圖


由于耦合嚴重,三種算法的穩定圖都不夠清晰。ERA算法稍好一點,但得到的剛體模态仍有個别點振型不夠協調。

為得到提純後的FRF,各個激勵點的系數如表3:

表3  構造提純FRF的4個激勵點的系數

階數

激勵點1

激勵點2

激勵點3

激勵點4

振型說明

1

0.5

0.5

0.5

0.5

沉浮

2

0.5

0.5

-0.5

-0.5

點頭

3

0.5

-0.5

0.5

-0.5

側翻

4

0.5

0.5

0.5

0.5

一彎


四組FRF乘以表3中的系數,每次得到一組新的提純後的FRF。圖13為第1階和第4階提純FRF集總顯示,參數識别時可選不同的頻率區間分别識别,得到的模态振型非常協調,如圖8所示。圖14為第2階提純FRF集總顯示,圖15為第3階提純FRF集總顯示。通過式(46)求得的模态振型非常協調。

image315.png

13  1階和第4階提純FRF集總顯示


image317.png

14  2階提純FRF集總顯示


image319.png

15  3階提純FRF集總顯示

 

   結論

1. 在SIMO和MISO試驗,提純算法能識别小阻尼以及頻率相差大于2Δf的模态參數。

2. 對MIMO試驗, MvMIF理論可用來得到一組提純的FRF。識别參數的精度依賴于MvMIF的最小值,由激勵點個數和位置決定。當激勵點數量足夠且位置合适,即使重根的模态也容易識别。複模态指示函數CMIF的提純算法,既可用于EMA試驗也可用于OMA試驗。

3. 提純FRF得到後,參數識别過程因為隻需考慮一階模态,非常簡單,可看作實時完成。MIMO試驗的FRF提純因可以利用MvMIF或CMIF的數據,也可看作實時完成。提純算法是目前所有模态識别算法中,唯一對密集模态參數識别能達到實時級的算法。

4. 從工程實例可以看出,對于耦合嚴重或者超大阻尼的模态試驗,提純後的FRF已完成了模态解耦,能直觀顯示模态的頻率和阻尼。

5. 新算法進一步發展了多變量指示MvMIF和複變量指示函數CMIF的理論。以前這兩種指示函數隻能用來指示模态的位置,提純算法利用它們可進一步直接識别出所有的模态參數,即模态頻率、模态阻尼和模态振型。MvMIF指示函數值的大小反映了激振器的數量是否足夠以及位置是否适當。

 

參考文獻:

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